निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए: $\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$

(A) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को $A = P + Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
सबसे पहले,$A + A^{\prime}$ की गणना करें:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6+6 & -2-2 & 2+2 \\ -2-2 & 3+3 & -1-1 \\ 2+2 & -1-1 & 3+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6\end{array}\right]$.
अतः,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
चूंकि $P^{\prime} = P$,इसलिए $P$ एक सममित आव्यूह है।
अगला,$A - A^{\prime}$ की गणना करें:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6-6 & -2-(-2) & 2-2 \\ -2-(-2) & 3-3 & -1-(-1) \\ 2-2 & -1-(-1) & 3-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
चूंकि $Q^{\prime} = -Q$,इसलिए $Q$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अंत में,$A = P + Q = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.